척척학사의 공부노트입니다!
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오류의 정정 및 조언을 해주신다면 정말 감사하겠습니다!
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2020/12/30 - [반도체/edX] - [Semiconductor Devices] Intrinsic semiconductor materials (1)
[Semiconductor Devices] Intrinsic semiconductor materials (1)
척척학사의 공부노트입니다! 틀린 부분이 굉장히 많을 수 있으며 오류의 정정 및 조언을 해주신다면 정말 감사하겠습니다! 지난 MEMS 수업 이후 이번엔 소자에 대한 기초를 공부해보고자 아래 수
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2. Calculating carrier concentrations
이번 강의에서는 순수 실리콘 반도체의 전도대와 가전자대의 캐리어 수와 분포를 알아볼 예정이다. 캐리어의 수는 물질의 전도성에 직접적인 영향을 준다. 또한 반도체 소자의 많은 기능들이 물질내 특정 위치에서 캐리어의 집중을 통해 이루어진다는 것을 이해할 수 있다. 이러한 캐리어의 분포와 밀도를 구하기 위해선 두가지 개념을 이해해야한다. 첫번째는 상태 밀도(density of states)와 두번째는 페르미-디락 함수(Fermi-Dirac statistics)이다. 이후 페르미 레벨(Fermi level)에 대한 학습이 이어진다면 외부 전압에 의한 캐리어의 반응에 대한 이해가 가능하게 된다.
고체 반도체 물질 내의 캐리어의 밀도는 세가지 요소에 영향을 받는다. 먼저 에너지 밴드의 상태 밀도, 밴드 캡의 크기, 작동 온도이다. 먼저 상태(state)란, 전자 혹은 정공 한 개를 붙잡을 수 있는 공간이다. 이러한 상태 밀도는 에너지 밴드에서 규칙적인 분포를 보이지 않는다. 다만 그 개형은 밴드 갭과 가까울수록 상태 밀도가 감소하며 멀어질수록 증가한다. 이러한 상태의 분포가 상태 밀도(D(E))를 통해서 정의된다. D(E)의 개형은 위 이미지와 같다. 이 중 전도대에서 가장 낮은 에너지를 Ec로 표현하며 가전자대의 가장 높은 에너지를 Ev로 표현한다. 이에 따라 Eg = Ec - Ev로 표현할 수 있다. Ec, Ev의 객관적인 수보다는 Eg = 1.1eV가 중요한 수로 고려해야한다.
이러한 상태 밀도를 바탕으로, 전자의 움직임에 대해 알아보자. 먼저 에너지 밴드 내에서 상태의 분포가 규칙적이라고 가정을 해보자. 절대 영도 상태처럼 외부에서 에너지가 전혀 주입되 않은 경우, 모든 전자는 가장 낮은 에너지 상태에서 머물고 있다. 그러나 상온과 같이 주위로부터 에너지를 공급받을 경우, 전자들이 더 높은 에너지 상태를 차지한다. 이러한 온도에 따른 캐리어 분포를 확률적인 방법을 이용한 페르미-디락 분포 함수로 표현한다.
이 함수는 특정 에너지 레벨 E와, 페르미 에너지 레벨 Ef, 절대 온도 T, 볼츠만 상수의 함수이다. 먼저 절대 온도가 0도 일때, 모든 전자가 가장 낮은 에너지 상태에 존재하기 때문에 페르미 레벨 이하는 1, 이상은 0 이 된다. 이는 수학적으로 T가 0일때 E와 Ef의 크기 차이에 따라 페르미-디락 분포 함수가 1 혹은 0 이 된다.
절대 온도가 0도 이상일 경우 페르미-디락 함수는 1부터 0 사이에서 분포를 보이며 페르미 레벨 이상에서도 확률이 증가하는 형태를 보인다. 이러한 상황에서 페르미 레벨에서는 전자가 존재할 확률이 1/2이며 밴드 갭이 존재하는 순수 물질에 대해서 밴드 갭의 중간에 페르미 레벨이 존재한다. 이에 따라 전도대의 전자와 가전자대의 정공의 분포는 동일하다.
이는 전도대에 전자가 들어오면서 가전자대에 정공이 생기기 때문이다. 절대 영도에서 모든 전자는 Ev이하에서 머물고 있으며 밴드 갭에는 state가 없다. 0K 이상에서는 전도대에 존재할 수 있는 확률이 있다. 가전자대에서는 전자가 아닌 정공의 수를 고려하는 곳이 더욱 편리하다. 이에 따른 페르미-디락 분포 함수는 '1 - 전자의 페르미-디락 분포 함수'가 된다. 따라서 전자에 대한 분포 함수를 fe(E), 정공에 대한 분포 함수를 fh(E)로 표현한다.
이러한 내용들을 바탕으로 주어진 에너지(온도)에서 전자의 수를 구할 수 있다. 이는 상태 밀도(D(E))와 특정 에너지 E에서 페르미-디락 분포 함수를 곱한 n(E)로 나타낼 수 있다. 이를 전도대의 전자 수를 구하기 위해서는 n(E)로 표현하고, 가전자대의 정공을 표현하기 위해 p(E)로 표현한다. (fe(E), fh(E)를 각각 이용한다.) 이 중 우리는 분포가 아닌 캐리어의 전체 수가 중요하기 때문에 적분을 통해 전부 더하여 이를 간단하게 표현할 수 있다. 앞서 언급했듯 순수 물질에 대하여 정공과 전자의 수는 같고 이에 p = n = ni로 표현할 수 있다. 이는 electron-hole pair generation이라고도 표현된다.
위 식을 이제 적분을 통한 전체 캐리어 수만 고려한다면 상태 밀도 D(E)에 대한 고려가 필요없어진다. 이를 위한 간략화를 위해 먼저 밴드를 굉장히 얇다고 가정할 수 있다. 이를 통해 대부분의 state들을 Ec와 Ev에 가까이 위치 시킬 수 있다. 이후 Ec, Ev에 존재하는 전체 state의 수를 상태 밀도를 전도대, 가전자대에서 각각 Nc, Nv로 정의한다. 이는 상태 밀도를 적분한 것과 같다. 이러한 가정을 바탕으로 D(E)를 제거함으로써 전체 캐리어의 수를 더욱 간단하게 표현할 수 있다.
이에 따른 Nc와 Nv는 위 식으로 표현될 수 있다. 여기서 me와 mh는 전자와 정공의 유효 질량이다. 그 중 정공은 전자가 비어있는 빈 공간이라는 정의를 통하면 질량이 존재한다는 것이 모순이라고 생각 될 수 있다. 그러나 이러한 문제는 물 안의 공기방울에 대입해 본다면 쉽게 이해할 수 있다. 물이 이동하는데 필요한 힘이 동시에 공기 방울에도 작용하기 때문에 유효 질량이 존재하며 이는 정공의 유효질량과 유사하다. 이 외에도 플랑크 상수 h, 볼츠만 상수 k 등으로 이루어져있으며 이는 모두 정해진 상수값이다. 유일한 변수는 온도 T이고 이에 따라 Nc, Nv는 온도만의 함수이다. 이에 따른 정확한 수치는 테이블을 참고하면 알 수 있다.
이러한 과정을 거친 후에 캐리어의 수에 대한 식의 굉장히 간단해 졌지만 페르미-디락 함수에 대해서도 더욱 간단한 표현이 필요했다. 이에 먼저 kT가 상온에서 E - Ef에 비해 굉장히 작은 숫자이며 '1 +'도 충분히 무시할만한 숫자이다. 이를 통해 페르미-디락 함수를 볼츠만 분포함수와 비슷한 개형으로 바꿀 수 있다. 위 이미지에서 파란선이 페르미-디락 함수이고 붉은 선이 볼츠만 분포 함수이다. 볼츠만 분포 함수는 페르미 레벨이 전도대에 근접하지 않았을 경우, 전도대에 한해서 유효하다. 그 이유는 페르미 레벨에서 페르미-디락 함수는 확률이 1/2이지만 볼츠만 함수는 1이기 때문이다. 이러한 페르미 레벨은 도핑에 의해서 위치가 달라진다. 또한 페르미-디락에서 가능했던 '1 -'에 의한 정공의 수 계산도 볼츠만 분포 함수에서는 더이상 유효하지 않다. 이 경우 특별한 식이 볼츠만 분포에서는 필요로 한다.
앞선 개념들을 전부 종합하여 전도대와 가전자대의 캐리어 수를 계산할 수 잇다. 이에 대한 식은 위와 같다. ni는 전자의 수, pi는 정공의 수이며 순수 실리콘에서 이 둘은 같고 따라서 둘 다 ni라고 표현하며 이는 순수 상태의 캐리어 수를 의미한다. 그리고 전자와 정공의 수를 곱한다면 (ni의 제곱) 위와 같은 또다른 공식이 나온다. 이를 통해서 최종적으로 캐리어의 수를 구할 수 있으며 이는 온도에 비례하고 밴드 갭의 증가에 반비례한다. 결과적으로 이 값은 상온(25℃)에 있는 실리콘의 경우 1.45x10^10 혹은 10^10의 값을 보인다. 이 값은 이후 여러 과정에서 활용될 수 있다. 이에 따라 큐빅 당 5x10^22개의 원소가 포함되어 있는 것을 고려하면 캐리어의 수는 금속(전도체)에 비해 굉장히 적다. 이것이 순수 반도체가 상온에서 거의 절연체를 띄는 이유다.
마지막으로 페르미 레벨 Ef에 대한 내용이 이어졌다. 페르미-디락 함수에서 전자가 존재할 확률이 1/2인 지점이다. 이 의미를 위의 이미지와 같이 닫힌계의 물이 채워진 상자에 비교할 수 있다. 저온에서는 표면 아래에 물 분자가 존재하며 공기 중에는 존재할 확률이 적다. 이 경우 표면에서 존재할 확률이 1/2라고 생각할 수 있으며 이 위치를 페르미 레벨이라고 볼 수 있다. 그리고 밴드 갭의 역할을 하는 고체 상자를 물 위에 띄운다면 외부의 페르미 레벨은 고체 상자가 떠있는 중간에 존재하며 페르미 레벨은 주위와 관계가 있다.
반도체의 양쪽 끝에 외부 전압이 걸린 상황을 수위가 달라진 상황으로 비유할 수 있으며 위 이미지와 같다. 이는 페르미 레벨이 서로 달라진 것과 같다. 이러한 상황에서 전자와 정공의 이동을 물 분자와 공기 방울이 이동으로 대입해서 생각할 수 있다. 또한 박스의 형태는 반도체의 특성에 따라 그 형태가 달라진다. 이 외의 경우로 주변 에너지에 의한 excite를 물 분자가 고체 박스를 뚫고 위로 올라간다고 표현할 수 있다. 이를 통해서 전자-정공 쌍을 형성함을 보여준다.