척척학사의 공부노트입니다!
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지난 포스트에 이어지는 내용입니다.
2021/01/05 - [반도체/edX] - [Semiconductor Devices] Doping and PN junction Formation (1)
[Semiconductor Devices] Doping and PN junction Formation (1)
척척학사의 공부노트입니다! 틀린 부분이 굉장히 많을 수 있으며 오류의 정정 및 조언을 해주신다면 정말 감사하겠습니다! 2주차 강의 번역 및 정리 내용입니다. 2주차. Doping and PN junction Format
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2. PN Junction formation
앞선 포스트를 통해 배운 내용에 해당하는 n 혹은 p 형 반도체는 각각 존재할 때는 그 기능이 유용하지 않다. 이들이 서로 접촉되어 PN Juncition(접합), 다이오드가 형성되어야 그 기능이 유효해진다. 이러한 접합이 형성된 예시가 위 이미지와 같다. 이러한 소자들이 웨이퍼 상에 여러 개 만들어지며 이들이 제각각 패키징되어 상품이 만들어진다. 먼저 이러한 소자들에 배터리와 같은 외부 전압이 걸리는 상황 이전에, 캐리어의 특성과 에너지 밴드에 대해 먼저 알아보자.
위 이미지와 같이 순수 실리콘에 3족 혹은 5족 원소가 도핑되었을 경우 각각의 캐리어와 원자들은 상응하는 전하를 띄게 된다. 전자는 이러한 상황에서 자유롭게 움직이다가 정공과 결합되어 재결합(recombination)이 발생한다. 이러한 현상이 발생한 뒤에 평형 상태에 도달하며 도너는 양성, 억셉터는 음성을 띈다.
이러한 배경을 통해, 순수 실리콘의 왼쪽에는 억셉터(p형), 오른쪽에는 도너(n형)을 도핑한 상황을 가정해보자. 이에 따라 각각 정공과 전자를 캐리어로써 형성한다. 이에 전자가 n형 반도체 쪽에서 농도가 높기 때문에 반대쪽으로 확산이 되게 된다. 이 후 정공과 만나 재결합되게 된다. 재결합 이후엔 캐리어가 사라지고 전자를 제공했던 도너는 양성을 정공을 잃은 억셉터는 음성을 띄게 된다. 이러한 재결합은 당연하게도 접합면에 가까운 쪽부터 발생한다. 이렇게 형성된 구역에서는 전자와 정공이 재결합되어 캐리어가 존재하지 않는다고 가정할 수 있다. 이에 이 구역을 depletion region(공핍 영역)이라고 부른다. 이 구역은 순수 반도체와 같은 공유 결합이 형성되어 있다. 하지만 이는 완전히 정확한 가정은 아니다. 그 이유는 공핍 영역 내에서도 형성과 재결합이 꾸준히 일어나 약간의 캐리어가 존재하기 때문이다. 그러나 이 양은 굉장히 적어 무시할 수 있다.
이러한 확산이 지속되면서 공핍 영역은 커지고 있고 많은 전하가 축적된다. 이렇게 축적된 전하는 접합에서 발생하는 확산과 반대 방향으로 힘을 작용한다. 이는 전자가 확산되려는 움직임에 직접적인 영향을 주어 공핍 영역이 확산되는 것을 막는다. 그렇기 때문에 전자가 확산, 재결합되어 공핍 영역을 확장시키기 위해선, 이러한 힘을 이겨내야하며 그 영향으로 어느 순간 확산 과정으 멈추게 된다. 따라서 평형 상태에서는 일정 두께의 공핍 영역을 보인다.
이러한 PN junction에 대해 알아보기 전에 몇가지 가정을 알아볼 필요가 있다. 먼저 접합면의 가정이다. 위에서 참고했던 이미지와 같이 p,n형 실리콘 사이에 명확한 경계면이 존재한다는 가정이다. 현실에서는 도너와 억셉터가 동시에 존재하는 transition region이 존재하지만 이를 고려하지 않는다. 두번째 가정은 앞서 언급했던 공핍 영역이다. 공핍 영역은 중성 영역과 명확한 경계면을 가지고 있지 않다. 그러나 이 또한 명확하다고 가정한다. 이러한 가정을 통해 PN 접합을 완전히 분리되어 있다고 가정하여 간단하게 설명할 수 있게 된다. 하지만 현실은 완전히 동일하지 않다라는 점을 알고 있어야한다.
이번에 PN 접합을 밴드 다이어그램을 통해 알아보자. 먼저 앞선 포스트에서 배웠던 순수 실리콘의 수조 모델은 대입할 수 있다. 여기에 도너 혹은 억셉터가 도핑됨에 따라 도핑된 부분의 박스가 잠기는 깊이가 달라진다. 그리고 중앙의 공핍영역에 대해선 이 두 부분을 자연스럽게 이어지도록 휘어진 형태를 띈다. 하지만 외부에서 특별한 전압(배터리)이 연결된 상황이 아니기 때문에 페르미 레벨을 일정하게 유지된다. 이는 실리콘의 모든 부분에서도 동일하게 적용된다. 이러한 상태를 열 평형 상태라고 지칭하며 특정한 전류의 흐름이 존재하지 않는다. 여기에 외부 전압이 걸리게 되면 그 형태가 변화하게 되는데 이는 다음 주차 강의에서 확인할 수 있다.
에너지 밴드의 개형을 통해 캐리어의 움직임을 우리는 알 수 있다. 예를 들어 밴드의 경사면에 놓인 전자는 면을 따라 흐르게 된다. 이러한 특징을 통해 캐리어의 움직임을 쉽게 이해할 수 있기 때문에 에너지 밴드의 이해는 필수적이다. 그렇다면 열 평형 상태의 PN 접합을 구하기 위해서 우리는 무엇을 알아야 할까. 그것은 1) E_C 혹은 E_V의 차이와 2) 공핍 영역의 두께이다. 이 값을 알게된다면 우리는 에너지 밴드를 쉽게 그릴 수 있게 된다.
먼저 두 접합면의 E_C를 살펴보자. 이는 포텐셜 에너지의 차이를 나타내며 일반적으로 Vbi, 빌트인 포텐셜(내부 전위)이라고 부른다. 내부 전위는 전자가 n형에서 p형으로 넘어가기 위해 필요한 에너지의 양이라고 볼 수 있다. 또한 이는 지속적인 확산을 멈추게 해주는 역할도 한다. 내부 전위에 의한 에너지 차이는 q*Vbi로 표현 할 수 있다.
내부 전위를 측정하기 위해선, 순수 반도체의 페르미 레벌을 에너지 밴드에 추가로 활용해야한다. 전도대가 휘어짐에 따라 페르미 레벨과 가전자대도 동일한 개형으로 휘어지게 되고 이를 통해 Vbi과 V_P와 V_N의 합 임을 공식을 통해 알 수 있다. 또한 캐리어의 수가 도핑한 양과 같기 때문에 (앞 포스트의 내용), 우리는 위 식을 유도할 수 있다. 최종적으로 두 전압을 더함으로써 내부 전위를 구하는 공식을 유도할 수 있다. 이를 통해 우리는 내부 전위가 도핑 농도에 영향을 받는 다는 것을 알 수 있다.
다음 단계는 공핍 영역의 두께를 측정하는 것이다. PN 접합면으로부터 공핍영역이 끝나는 지점까지의 길이를 각각 xp와 xn 이라고 가정해 보자. 양 쪽의 접합면이 전기적으로 중성으로 균형을 맞추었기 때문에, 우리는 이 둘의 관계식을 위 이미지와 같이 설정할 수 있다. 이를 가장 간단히 표현한 것은 N_D * xp = N_D * xn이다. 그리고 면적에 해당하는 A는 항상 일정하며 1이라고 가정하여 식을 간단하게 표현해보자. 앞으로 필요한 내용은 xp와 xn의 추가적인 관계를 찾는 것이다. 우리는 이를 포아송 방정식에서 유도할 수 있다. 포아송 방정식은 아래와 같다.
포아송 방정식은 '전압의 라플라시안 연산 = -전하 밀도 / 유전율' 이다. 이는 전압, 전기장, 전하 밀도의 식이며 1차원에서 전압을 두 번 미분한 형태로 간단하게 표현할 수 있다. 또한 우 항의 마이너스는 전기장이 전압이 낮아지는 쪽으로 향한다는 것을 의미한다. 최종적으로 전압을 미분함으로써 전기장을 구할 수 있고, 이를 통해 밀도/유전율을 구할 수 있게 된다. 또한 이를 역으로 활용할 수 있는데 밀도를 적분함으로써 전기장 * 유전율을 구할 수 있다. 그리고 한 번 더 미분하게 된다면 포텐셜을 구할 수 있게 된다.
PN 접합에서 전하 밀도는 이온화된 도핑을 통해 알 수 있으며 그 식은 전하량 * 도핑 농도가 된다. 그 후 접합의 도핑 노 농도를 그래프로써 표현해보자. 위 그래프에서 각 사각형의 넓이(적분한 값)는 전체 이온화된 도핑의 수와 같다. 이 값에 전하량 q를 곱한 것이 전체 전하 밀도가 되고 전기적으로 중성이기 때문에 둘이 같은 값을 가진다. 이러한 전하를 구한 뒤, 이를 적분함으로써 전기장을 구할 수 있다. 전하 밀도가 직선의 형태를 띄고 있기 때문에 이를 이용하여 간단하게 표현할 수 있다. 음성 영역부터 시작하기 때문에 전체 전기장은 -영역에 존재하게 되고 이는 앞서 설명했던 -부호를 의미하게 된다. 그리고 x=0인 지점 이후부터는 양성이기 때문에 값이 증가하며, 양 쪽의 면적이 같기 때문에 최종적으로 0에 도달하게 된다. 이 그래프의 최저점은 각각의 넓이와 같다. 하지만 전기장을 구하기 위해선 이를 유전율로 나눠주어야 한다. 이렇게 얻은 전기장을 다시 한번 더 미분함으로써 전기장(포텐셜)을 구할 수 있다. 이는 전기장의 삼각형 부분의 넓이와 같다. 두 삼각형의 넓이를 더함으로써, 내부 전위을 구할 수 있다.
이를 통해 모든 변수들이 도핑에 관련된 변수인 만큼 또 다른 xp와 xn의 상관 관계를 구할 수 있게 되었으며, 이를 통해 최종적으로 xp와 xn을 구할 수 있게 되었다. 마지막으로 이 둘을 더함으로써 공핍 영역의 두께를 알 수 있다.
이 식을 간략하게 표현하기 위한 방법에 대해 알아보자. 일반적으로, PN 접합의 도핑은 비대칭적이다. 그 이유는 PN접합이 도핑되어있는 영역의 성질을 반대로 바꾸기 위한 카운터 도핑을 통해 주로 얻어지기 때문이다. 또한 카운터 도핑은 이미 존재하던 도핑보다 훨씬 높은 도핑 농도를 통해 이루어지며 이는 백그라운드 도핑의 영향을 최소화하기 위함이다. 이에 통상적으로 얕게 도핑되는 양은 10^15~16정도 이며, 많이 도핑되는 양은 10^18~19정도의 도핑량을 보인다. 이러한 차이를 통해 우리는 공핍 영역의 공식에서 도핑 농도가 높은 항을 제거할 수 있으며, 이를 통해 낮은 도핑 영역에 의해 두께가 결정된다는 사실을 알 수 있다.
예시로 P+N 접합을 살펴보면 (높은 도핑 영역을 표현하기 위해 + 부호를 활용하여 표현한다.), 위와 같은 전하의 분포를 보이게 된다. 이를 통해 다음과 같은 식을 구할 수 있다. 유일한 변수는 낮은 도핑 농도 영역에 관한 변수이며 이를 통해 공핍 영역의 두께는 물론 내부 전위도 구할 수 있다. 따라서 PN 접합은 낮은 도핑 영역이 굉장히 중요하단 사실을 인지할 필요가 있으며, 이에따른 비대칭 밴드 다이어그램과 관련 공식을 이해할 필요가 있다.
마지막으로 캐리어의 움직임에 큰 영향을 주는, PN 접합의 내부 전위(빌트인 포텐셜)을 외부에서 측정할 수 있는지에 대한 내용이다. 이에 대한 답을 구하기 위해서, p & n형 물질과 더불어 m1, m2의 금속 와이어를 고려해야한다. 각각의 와이어는 각자의 포텐셜을 가지고 있다. 이러한 시스템의 전체 전위는 각 물질들이 가지고 있는 전위의 전체 합과 같다. 이를 위 식과 같이 표현할 수 있다. 그리고 전체 전위를 측정하기 위해서 전압계를 금속 와이어 끝에 연결시킨다. 이 또한 고유의 전위를 가지고 있으며 이를 위해 앞서 구한 식에 포함시켜 전압계의 전압을 구해보면 0이라는 값을 얻게 된다.
이러한 현상은 에너지 밴드를 통해서도 설명이 가능하다. PN 접합의 양쪽 끝을 완벽한 전도성을 보이는 물질로 연결되었다고 가정한다면, PN접합이 연속적으로 붙어있는 상황과 같다고 표현할 수 있다. 이러한 상황에서 내부 전위는 접합면에서 균형을 맞추기 위해 변형이 될 것이고 접합부에서는 Vn과 Vp가 동일해져 외부에서는 측정을 할 수 없게 된다. 따라서 내부 전위는 외부에서 측정할 수 없다는 결론을 얻을 수 있다.