척척학사의 공부노트입니다!
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3주차 강의 내용 정리 및 번역입니다.
3주차. Current-voltage characteristics of PN junction diodes
지난 주차 강의까지 우리는 PN 접합의 전기적 특성에 대해 배웠다. 이번에는 외부에서 전기장이 인가되었을 경우에 대해서 배우고자 한다. 그 전에 PN 접합의 서로 다른 다양한 영역에서 캐리어의 수를 우선적으로 배우고자 한다. 이는 캐리어를 움직이는 유도 전력에 대한 이해를 가능하게 한다.
예시로 외부에서 전압이 인가되지 않은 열 평형 상태의 P+/N 접합 에너지 밴드를 살펴보자. 우리는 캐리어 농도를 로그 스케일로 표시할 것이다. 그 이유는 리니어 스케일은 그 크기 차이를 표현하기 적절하지 않기 때문이다. P+ 영역에서 정공은 majority carrier이기 때문에 농도는 N_A와 같다. 그리고 이를 p_p0라고 표현한다. 먼저 p는 정공, 그 다음 p는 P+영역, "0"은 열 평형 상태를 의미한다. 또한 동일한 영역에서 존재하는 전자의 수는 n_p0이다. 표현의 의미는 동일히다. 앞선 포스트에서 배웠듯이 이 둘의 곱은 ni의 제곱과 같기 때문에 n_p0를 ni와 N_A에 관한 식으로 표한할 수 있다.
이와 비슷하게 N 영역에서는 전자의 농도를 n_n0로 표현, 이는 N_D와 같다. 그리고 정공의 농도를 p_n0, 이도 동일하게 ni와 N_D에 대한 식으로 표현이 가능하다. 이 후 양 영역을 비교해 봤을때 majority carrier의 수가 P+ 영역이 더 높은데 그 이유는 더 많은 도핑이 되었기 때문이다. 그렇다면 공핍 영역은 어떨가? 에너지 밴드에서도 보이듯이 캐리어의 농도가 일정하지 않고 이를 계산하기는 굉장히 어렵다. 그렇기 때문에 일반적으로 중성의 캐리어가 존재하지 않는다 가정하여 무시한다. 이는 각 영역보다 굉장히 크기가 작기 때문에 가능한 설정이다.
이러한 설정을 바탕으로 열 평형 상태에서 캐리어 움직임에 대해 알아보자. 특별한 전류가 열 평형 상태에서 존재하지 않아도, 캐리어들은 제자리에 고정되어 있지 않다. 이들은 다양한 힘에 영향을 받아 꾸준히 움직인다. 전도대와 가전자대 모두 동일한 현상이 발생하며 그 원리는 같다. 그렇기에 전도대에 한하여 설명을 해보자. 기본적으로 전자가 많은 N 영역에서 P 영역으로 확산에 의해 캐리어가 퍼진다. 그리고 공핍 영역의 전기장에 의해 일부 전자들은 N 영역으로 되돌아간다. 이는 에너지 밴드가 표현하는 경사면에 해당한다고 볼 수 있다. 열평형 상태는 이러한 확산과 드리프트가 동일한 상태라고 보면 된다.
PN 접합에서 N 영역에는 많은 전자가 존재하지만, 대부분의 전자는 Ec_p0 아래에 존재한다. 이는 열 평형 상태의 P 영역에서 전도대의 에너지 레벨을 의미한다. 이 부분에 존재하는 전자들은 포텐셜 장벽에 의해 P 영역으로 넘어갈 수 없다. 따라서 이 에너지 레벨보다 위에 존재하는 전자들에 한해서만 자유롭게 다이오드의 양쪽 영역을 움직일 수 있다. 그렇다면 이 영역에 해당하는 전자의 수를 구해보자. 페르미-디락 분포 함수는 페르미 레벨이 서로 같기 때문에 두 영역에서 동일하다. 그렇기에 Ec_p0도 동일, 그 위에 존재하는 해당하는 전자의 수도 동일하고 각 영역에 해당하는 전자의 수를 n_p0라고 가정해도 무방하다. 따라서 N 영역에 존재하는 전자의 수 자체는 더욱 많지만 대부분은 Ec_p0 아래에 존재하여 전자의 움직임에 관여하지 않고 이에 따른 전류가 존재하지 않게 된다.
이제 외부에서 전압이 인가된 상황을 배워보자. 먼저 다이오드 자체의 극성에 대해 알아보자면 기호는 위의 이미지와 같고 P 영역은 양극, N 영역은 음극으로 표현된다. 따라서 P영역에 + 전압이 인가된다면 이를 순 방향 전압(forward bias)이라 표현하고, P 영역에 - 전압이 인가된다면 역방향 전압(reverse bias)이라고 표현한다. 둘 중 역방향 전압에 대해 먼저 알아보자.
역 방향 전압 Va가 P 영역에 인가된다면 수조의 수면은 올라가게 된다. 이는 결과적으로 두 영역의 페르미 레벨 균형이 깨지는 결과를 초래하며 더 이상 열 평형 상태가 아님을 의미한다. 페르미 레벨은 위 이미지와 같이 바뀌게 되고 높은 레르미 레벨에 있는 전자들이 낮은 페르미 레벨 영역으로 흐르려고 하는 경향을 보인다. 이 과정에서 에너지 장벽, 공핍 영역의 높이는 인가된 Va 만큼 더욱 늘어났다고 볼 수 있다. 공핍 영역 내부에는 페르미 레벨의 위치를 선정하기 보다 복잡하다. 그 이유는 외부에서 캐리어들이 들어오기 때문에 열평형 상태를 추측하기 어렵기 때문이다. 또한 한 개의 페르미 레벨과 페르미-디락 분포는 이 영역에 적용하기 힘들기 때문에 더욱 진화된 개념인 준-페르미 레벨(Quasi-Fermi level)를 사용한다. 하지만 간단한 표현을 위해 단순히 공핍 영역의 페르미 레벨은 무시하고 각 영역과 맞닫는 부분의 준위만 다르다 정도로 정의하고 넘어가자. 이러한 가정에도 다이오드의 전류는 계산하는데 영향을 주지 않는다.
PN 접합에 bias가 인가되었을 경우, 전위 장벽과 공핍 영역의 두께가 영향을 받는다. 에너지 밴드 그래프가 캐리어의 움직임을 결정할 수 있기 때문에 우리는 영향을 받고 바뀐 수치를 계산할 수 있으여 한다. 먼저 새로운 전위 장벽의 계산은 매우 간단하다. 먼저 열평형상태의 전위 장벽은, 내부 전위인 V_bi이다. 여기에 역방향전압이 P 영역에 인가된다면 페르미 레벨은 Va만큼 올라가게 된다. 따라서 새로운 전위 장벽은 V_bi - Va이다. 여기서 역방향전압이기 때문에 Va는 음수가 되고 새로운 전위 장벽의 크기는 커지게 된다.
공핍 영역의 두께를 계산하기 위해선 먼저 전하의 분포부터 살펴 보아야 한다. 이온은 고정되어 있기 때문에 이온에 영향을 받는 전하 밀도는 역방향 전압에 영향을 받지 않는다. 이에 전압이 인가되었을 경우에 대한 새로운 xp와 xn을 구해야 하며 이를 N_A * xp = N_D * xn으로 표현할 수 있다. 또한 중성인 공핍 영역의 전기적 성질은 그대로 유지된다.
이러한 전하 밀도를 앞선 포스트에서 구한 방식같이 적분을 2번 진행하여 전위 차이를 구할 수 있다. 이렇게 얻은 전위 차이가 역방향전압이 인가되었을 경우 Vbi - Va 가 된다. 이를 통해서위 식과 같이 공핍 영역의 두께도 구할 수 있게 된다.
이렇게 구한 에너지 밴드를 바탕으로 캐리어의 움직임에 대하여 살펴보자. 전자가 공핍 영역 중 P 영역에 가까운 가장자리로 진입할 경우, 에너지 밴드의 기울기에 의해 N 영역으로 움직이게 된다. 이러한 움직임의 원인은 드리프트이다. 이렇게 전자가 P 영역에서 공핍 영역으로 움직이면서 P 영역 가장자리의 농도가 점점 낮아진다. 이후 더 많은 전자들이 이 P 영역 내에서 가장자리 쪽으로 움직이게 되는데, 이 원인 확산과 기울기 때문이다. 이러한 움직임을 통해 다이오드 내부의 모든 지점에서 확산과 드리프트로 유도되는 힘들은 전부 다르다고 말할 수 있다. 이러한 움직인 전도대의 전자 뿐만이 아닌 가전자대의 정공에도 해당된다.
전자의 움직임은 캐리어의 농도에 영향을 준다. 위에서 살펴보았듯 공핍 영역에 가까운 P 영역은 전자의 농도가 낮아지며, 공핍 영역 내에서의 캐리어 농도는 무시된다. 하지만 N 영역으로 이동한 전자는 N 영역의 전자 농도에는 크게 영향을 주지 않는데 그 이유는 처음부터 많은 전자가 존재했기 때문이다. 이는 마치 거대한 바다에 강물이 흘러온 것과 비슷한 상황이라고 볼 수 있다. 따라서 N 영역의 전자 농도는 n_n0로 모든 지점이 동일하다라고 볼 수 있다. 이 또한 가전자대의 정공도 동일한 형태를 보인다.
이러한 캐리어 특성을 바탕으로, 우리는 역방향전압을 특정 지역을 단위 시간 당 통과하는 전하의 양을 통해서 계산할 수 있다. 이를 위해선 먼저 캐리어 수를 측정할 위치부터 선정해야한다. 이는 다이오드내 어느 지점이던 가능하지만, 가장 적은 캐리어가 지나가는 지점이 가장 계산하기 쉽다. 이는 마치 강가의 가장 얕은 지점에서 유량을 체크하기 것과 비슷하다고 이해할 수 있는데, P 영역에서 공핍 영역이 맞닫는 가장자리 부분이 이에 해당한다. 그리고 이 지점에서 주요하게 작용하는 힘은 확산이다.
확산에 의한 전류 밀도를 측정하는 가장 간단한 식은 Jn = q*Dn*dn/dx이다. dn/dx는 캐리어 흐름의 비율이며 이 항의 의미는 전류 밀도는 캐리어 농도차에 비례한다는 뜻이다. 그 이유는 농도 차이가 클수록 더욱 많은 캐리어가 흐르기 때문이다. 그리고 Dn은 전자의 확산 계수이며 전자의 이동도(mobility)를 의미한다. 수 많은 전자의 평균을 활용하며 이는 상수 값이다. 마지막으로 각각의 전자가 가지는 전하량인 q가 곱해져 최종적으로 전류 밀도를 구할 수 있다. 또한 정공에 대해서도 표현이 가능하며 이에 해당하는 식은 q* Dp*dp/dx이다. 보면 알겠지만 전자와 크게 다른 부분은 없다.
이에 따른 PN 접합의 전자 농도 그래프이며, dn/dx는 P 영역의 가장 가장자리의 전자 농도 기울기에 해당한다. 그리고 이 지역의 전자 농도를 n_pd라고 표현하며, 이 값은 접합에 걸리는 전압에 의해 다양하게 변화할 수 있다. 추가적으로 Ln을 정의할 수 있으며 이는 전자의 확산 거리, 즉 전자가 재결합되는데 이동하는 평균 거리를 의미한다. 이에 대한 자세한 설명은 뒤에서 추가할 예정이며 현재는 상수 값으로 취급한다. 이러한 값들을 이용하여 기울기인 dn/dx를 구할 수 있으며, 이를 통해 확산 전류 밀도까지 계산할 수 있다. 최종적으로 구한 식에서 유일한 변수는 n_pd이며 다른 값들은 인가된 전압에 의해 결정된다는 사실도 알 수 있다.
n_pd를 구하기 위해선 몇몇 가정들이 필요하다. 먼저 N 영역의 캐리어 특성이 전압에 의해 영향을 받지 않는다는 가정이다. 이는 앞에서 설명한 것과 같이 기존에 있던 전자의 양보다 추가되는 전자의 양이 매우 적기 때문이다. 다음은 공핍 영역이 다른 N,P 중성 영역보다 굉장히 작아 그 두께를 무시하는 가정이다. 이 두 가정을 바탕으로 우리는 n_pd가 N 영역에서 에너지가 Ec_p보다 높은 캐리어의 농도와 같다고 말할 수 있다. 그 이유는 공핍 영역이 작고 짧은 거리를 통과하면서 캐리어 농도가 극심한 변화를 할 수 없기 때문이다.
또한 열평형상태에서 Ec_p는 Ec_p0와 같으며 그 이상에 존재하는 전자의 수는 n_p0이다. 그리고 이전에 배웠듯이 페르미 레벨이 Va 만큼 낮아졌기 때문에 이를 바탕으로 n_pd는 n_p0*exp(qVa/kT)로 표현할 수 있다. 이를 통해서 n_pd는 n_p0보다 작다는 사실도 알 수 있는데 그 이유는 역방향전압에서 Va가 음수이기 때문이다.
이러한 내용을 바탕으로 전류 밀도에 대입해보자. 앞서 구한 공식에 대입하여 위와 같은 식을 얻을 수 있고 공통항을 빼내에 식을 정리할 수 있다. 이후 정공에 대한 전류 밀도도 같은 원리로 구한 뒤, 이 둘을 합침으로써 전체 PN 접합에 인가된 역방향 전류를 유도할 수 있다. 이 식을 더욱 간단하게 표현하는 방법은 차후에 알아보도록 하자.
이번에는 순방향 전압, 양수의 Va가 P 영역에 인가된 상황을 가정해 보자. 전위 장벽의 크기는 앞선 역방향과 같이 V_bi - Va와 동일하지만 Va가 양수이기 때문에 그 크기가 줄어들었고 수조의 수면이 아래로 내려간 상황이라고 판단하면 이해가 쉽다. 그리고 공핍 영역의 두께 또한 역방향전압과 같은 원리, 같은 식을 활용하며 결과적으로 양수의 Va에 의해 두께가 줄어들었다는 사실도 쉽게 파악할 수 있다.
하지만 V_bi보다 큰 Va가 인가되는 경우, 루트 안이 음수가 되는 결과가 초래된다. 이를 살펴보자면, Va가 0부터 증가하면서 공핍 영역의 두께는 줄어든다. 그리고 V_bi에 가까워 지면서 공핍 영역의 두께는 0에 가까워지고, 이는 더 이상 공핍 영역이 존재하지 않아 내부 전위가 사라지면서 다이오드가 저항이 되어버린다. 따라서 이에 따른 PN 접합의 변화는 위 이미지와 같아지게 되고 공핍 영역을 의미했던 다이오드의 기능은 상실하게 된다. 이를 통해 유효한 전압이 다이오드에 걸리는 경우 전위 장벽이 사라져 짧은 회로가 된다는 것을 알 수 있다.
본론으로 돌아와 순방향전압의 전류를 측정하기 위해선 다시 한번 캐리어 특성을 살펴볼 필요가 있다. 순방향전압에서 P 영역의 수면이 낮아지고 전위 장벽이 작아진다. 이에 N 영역의 많은 양의 전자들이 장벽을 넘어서 P 영역으로 들어올 충분한 에너지를 가지게 된다. 이를 통해 먼저 공핍 영역에 가까운 P 영역의 전자 농도가 높아지게 되며, 이는 이후 확산과 농도 기울기에 의해 P 영역의 다른 지점을 퍼져나가게 된다.
이를 바탕으로 전류를 측정하기 위해선 역방향전류를 계산했을때와 같은 접근 방법을 가져야한다. 전류를 계산하기 위한 위치를 선정, 캐리어 수를 측정하는 것으로, 간단하게 계산하기 위해 역방향전압과 같은 지점을 선택하도록 하자. 즉 P 영역의 가장자리에서 전자의 수를 측정하는 것으로 이는 N 영역의 가장자리에서 정공을 측정하는 것과 같으며, 이 지역의 전류는 농도 기울기에 의한 확산 전류 또한 포함하고 있다. 그렇기에 전류는 기울기와 비례하다는 것 또한 이전의 내용을 바탕으로 알 수 있다. minority 캐리어의 농도를 n_pd, p_nd로 정의하며 이 둘은 인가된 전압에 대한 항이다. 그리고 앞서 활용했던 확산 길이 또한 각각 Ln과 Lp로 정의하여 최종적으로 전자, 정공의 전류 밀도를 위 이미지에 있는 식으로 표현할 수 있다.
공핍 영역의 두께가 굉장히 얇다고 가정한다면, n_pd는 N 영역에서 Ec_p보다 높은 에너지를 가지는 전자의 농도와 같다는 건 바로 앞에서 배웠다. 이와 같은 원리를 반대로 페르미 레벨이 증가는 상황에서도 활용할 수 있다. 열평형상태에서 Ec_p0 보다 높은 에너지를 가지는 캐리어 농도가 n_p0이며 Va만큼 페르미 레벨이 증가했을때, Ec_p 이상의 캐리어 농도 n_pd는 n_p0*exp(qVa/kT)이다. 이후 전류 밀도 식에 대입한다면 최종적으로 전류 밀도 식을 유도할 수 있다. 이는 역방향 전압이 인가된 경우와 동일한 식을 보이나 Va가 양수라는 점에서 차이점이 존재한다.
이를 통해 두 종류의 전압 모두 외부 전압에 의해 변화된 페르미 레벨에 영향을 받은 공핍 영역의 가장 자리에 존재하는 캐리어 농도를 통해 측정되다는 사실을 알 수 있다. 또한 e항의 외부 항들은 외부 전압에 대해 독립적인 항이며 도핑에 의해 결정되는 값들이다. 따라서 위래 식처럼 i0로 통칭해 표현이 가능하며 이는 다이오드에서 가장 널리 쓰이는 공식 중 하나이다. 또한 이 i0는 전도대의 전자, 가전자대의 정공에 해당하는 서로 다른 두 전류를 모두 포함하고 있다는 사실도 잊지 말하야 한다.